Sistem persamaan linear tiga variabel adalah salah satu materi dalam aljabar. Sumber persamaan linear tiga variabel atau SPLTV adalah salah satu materi yang dipelajari siswa di sekolah, khususnya sekolah menengah atas atau SMA. Materi ini termuat dalam mata pelajaran sederhana, sistem persamaan linear tiga variabel dapat diartikan sebagai sebuah persamaan aljabar yang melibatkan tiga variabel. Variabel-variabel tersebut biasanya ditandai dengan huruf-huruf penjelasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel atau Persamaan Linear Tiga VariabelDikutip dari buku Mathematics for Senior High School Year X yang diterbitkan oleh Yudhistira Ghalia Indonesia, sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang memiliki tiga variabel. Oleh karena itu, sistem ini dinilai lebih kompleks jika dibandingkan dengan sistem persamaan linear dua variabel karena sistem dengan tiga variabel ini adalah bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua persamaan linear tiga variabel memiliki bentuk umum, yakni ax + by + cz = d. Keterangan dari bentuk tersebut ialaha, b, c, d, x, y, dan z ∈ Ra adalah koefisien variabel xb adalah koefisien variabel yc adalah koefisien variabel zUntuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan metode subtitusi dan eliminasi. Kedua metode ini adalah metode yang dipelajari di sekolah untuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu, tidak hanya persamaan linear tiga variabel, tetapi juga persamaan linear dua menyelesaikan persamaan sistem linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan metode subtitus dan eliminasi yang telah dipelajari pada mata pelajaran matematika. Sumber subtitusi adalah cara mengganti salah satu nilai yang tidak diketahui yang mewakili nilai-nilai lainnya yang juga belum diketahui. Tentukan nilai dari x + 3y – 5z?Persamaan 1 sama dengan 216– 5y – 3z = 8 + 2y – 9zPersamaan 2 disubstitusi ke persamaan 3y = 7 – 28 + 2y – 9z + zy = 7 – 16 – 4y + 18z + zPersamaan 5 disubtitusi ke persamaan 4Substitusi nilai z ke persamaan 5Substitusi nilai y dan z ke persamaan 1Nilai x, y, dan z dimasukkan ke dalam persamaan pertanyaan dapat menghasilkan x + 3y – 5z = 3 + 32 - 5 1 = 3 + 6 – 5 = 4Jadi nilai dari x + 3y – 5z adalah eliminasi adalah metode dengan cara menghilangkan atau mengeliminasi suatu variabel yang belum diketahui nilainya. Berikut contoh soalnyaSebuah toko buah menjual berbagai jenis buah-buahan di antaranya mangga, jeruk dan anggur. Jika pembeli pertama membeli 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur dengan harga Rp pembeli kedua membeli 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur dengan harga Rp ketiga membeli 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur dengan harga Rp maka tentukanlah jumlah uang yang harus dibayar oleh seorang pembeli jika ia ingin membeli 1 kg mangga dan 2 kg jumlah uang yang harus dibayar oleh seorang pembeli jika ia ingin membeli 1 kg mangga dan 2 kg + 2y + z = 1x + 2y + 2z = 22x + 2y +3z = 3Pertama, eliminasi persamaan 1 dan 2 dengan menghilangkan nilai y, makax– z = - pers 4Kedua, eliminasi persamaan 1 dan 3 dengan menghilangkan nilai x dan y, maka-2z = pers 5Selanjutnya, masukan nilai z ke dalam persamaan 4x = + 30. 000 = masukan nilai z = dan x = ke pers.12 + 2y + = + 2y + = masukkan nilai dari x, y ke dalam persamaan pertanyaan, yaitu x + 2y = + 2 =

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV merupakan salah satu materi matematika wajib / peminatan yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV diartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$ Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya dengan tipe berupa soal ingatan dan pemahaman soal noncerita. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 145 KB. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Baca Juga Soal dan Pembahasan – Soal Cerita Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLTV Quote by Ki Hajar Dewantara Jadikan setiap tempat sebagai sekolah dan jadikan setiap orang sebagai guru. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan beberapa sistem persamaan linear berikut. $1$. $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ $2$. $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ $3$. $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ $4$. $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $\cdots \cdot$ A. $1, 2$, dan $3$ B. $1, 2$, dan $4$ C. $1$ dan $3$ D. $2$ dan $3$ E. $2$ dan $4$ Pembahasan Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang masing-masing persamaannya berkonstanta $0$. Bentuk umumnya adalah $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = 0 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = 0 \end{cases}$ Analisis SPL nomor $1$ $\begin{cases} 4x+y+z & = y-2 \\ 3x+2z & = 2y \\ 3y+z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} 4x+z& = -2 && \cdots 1 \\ 3x-2y+2z & = 0 && \cdots 2 \\ 3y+z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $1$ memuat konstanta $-2$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Analisis SPL nomor $2$ $\begin{cases} x-y+4 & = 4 \\ 10x-2y+2 & = z+2 \\ 6x-y & = 2y \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} x-y & = 0 \\ 10x-2y-z & = 0 \\ 6x-3y& = 0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $3$ $\begin{cases} 5y+3z+2 & = x+2 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z+100 & = 100 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x+5y+3z & = 0 \\ 2y-5z & = 0 \\ 13y-z& =0 \end{cases}$ SPL di atas homogen karena seluruh persamaannya berkonstanta $0$. Analisis SPL nomor $4$ $\begin{cases} 10-x+z & = 5y+10 \\ 5x+3y & = 2z+5 \\ 7x+y+11z & = 0 \end{cases}$ Ubah SPL di atas menjadi bentuk umumnya. $\begin{cases} -x-5y+z & = 0 && \cdots 1 \\ 5x+3y-2z & = 5 && \cdots 2 \\ 7x+y+11z & = 0 && \cdots 3 \end{cases}$ Tampak bahwa persamaan $2$ memuat konstanta $5$ sehingga SPL tersebut tidak homogen. Jadi, sistem persamaan linear homogen ditunjukkan oleh nomor $2$ dan $3$. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Sistem persamaan linear tiga variabel yang tidak mempunyai penyelesaian ditunjukkan oleh $\cdots \cdot$ A. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ B. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ C. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ E. $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ Pembahasan Analisis SPLTV pada pilihan A $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ sebenarnya ekuivalen sehingga SPLTV tersebut hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan B $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+4z& =45 \\ 6x-3y+12z & = 60 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+2z& =22,5 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 20 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $3$ tidak akan mungkin terpenuhi perhatikan perbedaan konstantanya sehingga SPLTV tersebut tidak memiliki penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan C $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x+3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan D $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 6x-3y+12z & = 45 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x-y+4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1, 2$, dan $3$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $1$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Analisis SPLTV pada pilihan E $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 \\ 4x-2y+8z& =30 \\ 2x+y-4z & = 15 \end{cases}$ dapat disederhanakan menjadi $\begin{cases} 2x-y+4z & =15 && \cdots 1 \\ 2x-y+4z& =15 && \cdots 2 \\ 2x+y-4z & = 15 && \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $1$ dan $2$ ekuivalen sehingga SPLTV tersebut sebenarnya hanya memuat $2$ persamaan dan $3$ variabel. Dengan demikian, SPLTV tersebut akan memiliki banyak penyelesaian. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+y-z & =-3 \\ x+2y+z & =7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z= \cdots \cdot$ A. $3$ C. $5$ E. $8$ B. $4$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y-z & =-3 && \cdots 1 \\ x+2y+z & =7 && \cdots 2 \\ 2x+y+z & = 4 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y-z & = -3 \\ x+2y+z& = 7 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned}~\color{blue}{2x+3y = 4~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3.$ $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 7 \\ 2x+y+z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x+y = 3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Selanjutnya, eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk mendapatkan nilai $y$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 4 \\ -x+y & = 3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2x+3y& = 4 \\ -2x+2y & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 10 \\ y & = 2 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = 2$ pada persamaan $5$ untuk memperoleh $-x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = -1.$ Terakhir, substitusi $x=-1$ dan $y=2$ pada persamaan $1 x+y-z=-3$ untuk mendapatkan $-1+2-z=-3 \Leftrightarrow z = 4.$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=-1+2+4=5}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\{x_0, y_0, z_0\}$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 \\ x+y-2z & =3 \\ x-y+z & =-4 \end{cases}$, maka nilai $z_0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-1$ E. $5$ B. $-2$ D. $4$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 3x-2y-3z & =5 && \cdots 1 \\ x+y-2z & =3 && \cdots 2 \\ x-y+z & =-4 && \cdots 3 \end{cases}$ Persamaan $3$ dapat ditulis menjadi $x = -4+y-z.$ Substitusikan pada persamaan $1$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} 3\color{red}{x}-2y-3z & = 5 \\ 3\color{red}{-4+y-z}-2y-3z & = 5 \\ -12+3y-3z-2y-3z & = 5 \\ y-6z & = 17 && \cdots 4 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan pada persamaan $2$. $\begin{aligned} \color{red}{x}+y-2z & = 3 \\ \color{red}{-4+y-z}+y-2z & = 3 \\ 2y-3z & = 7 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$ untuk menentukan nilai $z$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-6z & = 17 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2y-12z& = 34 \\ 2y-3z & = 7 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -9z & = 27 \\ z & = -3 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{z_0 = -3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Diberikan sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x+y+z & =1 \\ 2x-y-z & = -5 \\ 2x-2y-z & = 7 \end{cases}$ Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ D. $\dfrac23$ B. $-\dfrac43$ E. $\dfrac43$ C. $-\dfrac23$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+y+z & =1 && \cdots 1 \\ 2x-y-z & = -5 && \cdots 2 \\ 2x-2y-z & = 7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ dan $z$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 1 \\ 2x-y-z & = -5 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -4 \\ x & = -\dfrac43 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x = -\dfrac43}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} x+4y-z & =1 \\ -x+2y+z & =2 \\ 2x+6y+z & =-8 \end{cases}$ adalah $\{x,y,z\}$. Hasil kali $x, y, z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-9$ C. $-3$ E. $9$ B. $-6$ D. $6$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} x+4y-z & =1 && \cdots 1 \\ -x+2y+z & =2 && \cdots 2 \\ 2x+6y+z & =-8 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dan $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+4y-z & = 1 \\ -x+2y+z & = 2 \end{aligned} \\ \rule{3 cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 6y & = 3 \\ y & = \dfrac36 = \dfrac12\end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $1 x+4y-z=1$. $\begin{aligned} x+4\left\dfrac12\right-z & = 1 \\ x+2-z&=1 \\ x-z&=-1 && \cdots 4 \end{aligned}$ Substitusi $y = \dfrac12$ pada persamaan $3 2x+6y+z=-8$. $\begin{aligned} 2x+6\left\dfrac12\right+z & = -8 \\ 2x+3+z &=-8 \\ 2x+z&=-11 && \cdots 5 \end{aligned}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-z & = -1 \\ 2x+z & = -11 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x & = -12 \\ x & = \dfrac{-12}{3} = -4 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $x = -4$ pada persamaan $4 x-z = -1$ sehingga diperoleh $-4-z = -1 \Leftrightarrow z = -3.$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = -4\left\dfrac12\right-3 = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui $\begin{cases} 2x-5y+3z & =-10 \\ 3x+4y+7z & =-11 \\ 5x+3y+7z & =-8 \end{cases}$ mempunyai penyelesaian $x, y, z$. Hasil kali $x,y,z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $-2$ E. $6$ B. $-6$ D. $2$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu. $\begin{cases} 2x-5y+3z=-10 & \cdots 1 \\ 3x+4y+7z=-11 & \cdots 2 \\ 5x+3y+7z=-8 & \cdots 3 \end{cases}$ Perhatikan bahwa persamaan $2$ dan $3$ memuat ekspresi $7z$ sehingga variabel $z$ sebaiknya dieliminasi lebih dulu. Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-5y+3z& = -10 \\ 3x+4y+7z &=-11 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~14x-35y+21z& = -70\\ 9x+12y+21z & = -33 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{5x-47y= -37~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+4y+7z & = -11 \\ 5x+3y+7z & = -8 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-2x+y = -3~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x-47y & = -37 \\ -2x+y &=-3 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 5 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~10x-94y& = -74 \\ -10x+5y & = -15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} -89y & = -89 \\ y & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 1$ pada persamaan $5 -2x+y=-3$. $-2x+1 = -3 \Leftrightarrow x = 2.$ Substitusikan $x = 2$ dan $y = 1$ pada persamaan $1 2x-5y+3z=-10$. $\begin{aligned} 22-51+3z & = -10 \\ 4-5+3z & = -10 \\ 3z & = -9 \\ z & = -3 \end{aligned}$ Jadi, hasil kali dari $x,y,z$ adalah $\boxed{xyz = 21-3 = -6}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 \\ 4x+2y-5z & =-19 \\ 6y-4z & =14 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 5, y = 3$, dan $z = 1$ B. $x = 4, y = -5$, dan $z = 1$ C. $x = -3, y = 4$, dan $z = 1$ D. $x = -5, y = 3$, dan $z = 2$ E. $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$ Pembahasan Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu, lalu sederhanakan persamaan ketiga. $\begin{cases} 3x+7y+2z & =8 && \cdots 1 \\ 4x+2y-5z & =-19 && \cdots 2 \\ 3y-2z & =7 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $x$ dari persamaan $1$ dan persamaan $2.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+7y+2z & = 8\\ 4x+2y-5z &=-19 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+28y+8z& = 32 \\ 12x+6y-15z & = -57 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{22y + 23z = 89~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Selanjutnya, eliminasi $z$ dari persamaan $3$ dan $4.$ $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3y-2z & = 7 \\ 22y+23z & = 89 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 23 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~69y-46z & = 161 \\ 44y+46z & = 178 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 113y & = 339 \\ y & = 3 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $y = 3$ pada persamaan $3 3y-2z=7$. $\begin{aligned} 33-2z & = 7 \\ 9-2z & = 7 \\ -2z & = -2 \\ z & = 1 \end{aligned}$ Terakhir, substitusi $y=3$ dan $z = 1$ pada persamaan $1 3x+7y+2z=8$. $\begin{aligned} 3x+73+21 & = 8 \\ 3x + 23 & = 8 \\ 3x & = -15 \\ x & = -5 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah $x = -5, y = 3$, dan $z = 1$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan SPLTV berikut. $$\begin{cases} x+2z & = 3y+2 && \cdots 1 \\ y-z & = -4x-7 && \cdots 2 \\ 3z-2 & = -2x+y-10 && \cdots 3 \end{cases}$$Penyelesaian SPLTV tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 3, y = 3$, dan $z=6$ B. $x = 1, y = 3$, dan $z=-6$ C. $x = 1, y = -3$, dan $z=6$ D. $x = -1, y = 3$, dan $z=6$ E. $x = -1, y = -3$, dan $z=-6$ Pembahasan Ubah bentuk setiap persamaan dari sistem tersebut menjadi bentuk umum. $\begin{cases} x-3y+2z & = 2 && \cdots 1 \\ 4x+y-z & = -7 && \cdots 2 \\ 2x+2y+3z& = 22 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $z$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ 4x+y-z & = -7 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~x-3y+2z& = 2 \\~8x+2y-2z & = -14 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{9x-y = -12~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+y-z & = -7 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~12x+3y-3z & = -21 \\ 2x+2y+3z & = 22 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{14x+5y = 1~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~45x-5y & = -60 \\ 14x+5y & = 1 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 59x & = -59 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} 9x-y & = -12 \\ \Rightarrow 9-1-y & = -12 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Substitusi $x = -1$ dan $y=3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x-3y+2z & = 2 \\ \Rightarrow -1-33+2z & = 2 \\ -10+2z & = 2 \\ 2z & = 12 \\ z & = 6 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut adalah $\boxed{x = -1, y = 3, z = 6}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui sistem persamaan linear $\begin{cases} x+2y+z & =6 \\ x+3y+2z & =9 \\ 2x+y+2z & =12 \end{cases}$ Nilai dari $x+y+z = \cdots \cdot$ A. $3$ C. $6$ E. $9$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Tanpa perlu mencari nilai $x, y, z$ masing-masing, kita dapat menentukan nilai dari $x+y+z$. Diberikan SPLTV berikut. $\begin{cases} x+2y+z & =6 && \cdots 1 \\ x+3y+2z & =9 && \cdots 2 \\ 2x+y+2z & =12 && \cdots 3 \end{cases}$ Jumlahkan ekspresi pada persamaan $1$ dan $3$, $\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+2y+z & = 6 \\ 2x+y+2z & = 12 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 3x+3y+3z & = 18 \\ x+y+z & = 6\end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $$\begin{cases} x+5y+2z & = -a-b-c && \cdots 1 \\ 3x-y+4z&=5a+b && \cdots 2 \\ 2x+y+5z & = 6a+1 && \cdots 3 \end{cases}$$Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-2, -3, 4\}$, maka nilai $2a+b+3c = \cdots \cdot$ A. $9$ C. $17$ E. $24$ B. $15$ D. $19$ Pembahasan Diketahui $x, y, z = -2, -3, 4$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut. Substitusi nilai-nilai $x, y, z$ ini pada persamaan $3$. $\begin{aligned} 2x+y+5z & = 6a + 1 \\ 2-2 + -3 + 54 & = 6a+1 \\ -4+-3+20 & = 6a+1 \\ 12 & = 6a \\ a & = 2 \end{aligned}$ Substitusi nilai $x, y, z = -2, -3, 4$ dan $a = 2$ pada persamaan $2$. $\begin{aligned} 3x-y+4z&=5a+b \\ 3-2-3+44 & = 52+b \\ -6+3+16 & = 10+b \\ b & = 3 \end{aligned}$ Substitusikan nilai $x, y, z = -2, -3, 4$, $a = 2$, dan $b = 3$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} x+5y+2z & = -a-b-c \\ -2+5-3+24 & = -2-3-c \\ -2-15+8 & = -5-c \\ -9 & = -5-c \\ c & = 4 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+b+3c = 22+3+34 = 19}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Perhatikan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x+5y+3z & = 9 && \cdots 1 \\ 4x+10y+6z & = d_2 && \cdots 2 \\ 6x+15y+9z & = d_3 && \cdots 3 \end{cases}$ Agar SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian, nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ dan $20$ D. $27$ dan $36$ B. $18$ dan $24$ E. $27$ dan $45$ C. $18$ dan $27$ Pembahasan Jika diketahui SPLTV $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$$memiliki banyak penyelesaian, maka $\dfrac{a_i}{a_j} = \dfrac{b_i}{b_j} = \dfrac{c_i}{c_j} = \dfrac{d_i}{d_j}$, dengan $i = 1, 2, 3$ dan $j = 1, 2, 3.$ Dengan meninjau persamaan $2$ dan $3$, diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac46 & = \dfrac{10}{15} = \dfrac69 = \dfrac{d_2}{d_3} \\ \dfrac{d_2}{d_3} & = \dfrac23 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa nilai $d_2$ dan $d_3$ yang mungkin harus memiliki perbandingan $2 3$. Salah satunya adalah $d_2 = 18$ dan $d_3 = 27$, sebab $18 27 = 2 3.$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Soal Nomor 13 Perhatikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} ax+y+2z & = 5 && \cdots 1 \\ bx-y+3z & = 3 && \cdots 2 \\ cx-y+z & = -1 && \cdots 3 \end{cases}$ Jika $a+b=7$ dan $a+c=5$, maka nilai $12x+8z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $12$ E. $18$ B. $10$ D. $16$ Pembahasan Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ bx-y+3z & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+bx+5z & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + b = 7$, maka diperoleh persamaan $4 7x+5z=8$. Eliminasi $y$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} ax+y+2z & = 5 \\ cx-y+z & = -1 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} a+cx+3z & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Karena diketahui $a + c = 5$, maka diperoleh persamaan $5 5x+3z=4$. Selanjutnya, jumlahkan ekspresi pada persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7x +5z & = 8 \\ 5x+3z & = 4 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 12x+8z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{12x+8z=12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Diketahui sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = 2 \\ \dfrac{2}{y} -\dfrac{1}{z} & = -3 \\ \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{z} & = 2 \end{cases}$ Nilai $x+y+z=\cdots \cdot$ A. $3$ C. $1$ E. $\dfrac13$ B. $2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x}, b = \dfrac{1}{y}$, dan $c = \dfrac{1}{z}$ sehingga terbentuk sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} a + b & = 2 && \cdots 1 \\ 2b-c & = -3 && \cdots 2 \\ a-c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a + b & = 2 \\ a-c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{b+c = 0~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $2$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b-c & = -3 \\ b+c & = 0 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned}3b & = -3 \\ b & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $4 b+c = 0$ untuk memperoleh $-1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$ Substitusikan $b=-1$ pada persamaan $1 a+b=2$ untuk memperoleh $a+-1=2 \Leftrightarrow a = 3$ Dengan demikian, $\begin{aligned} x + y + z & = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \\ & = \dfrac13 + \cancel{\dfrac{1}{-1} + \dfrac{1}{1}} \\ & = \dfrac13 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{x+y+z=\dfrac13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{2}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 1 \\ \dfrac{-4}{x+1} + \dfrac{1}{y-3} + \dfrac{6}{z+2} & = 5 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{3}{y-3} + \dfrac{3}{z+2} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$Himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\{-3, 4, 1\}$ B. $\{-3, 1,2\}$ C. $\{-2,1,1\}$ D. $\left\{\left-\dfrac12, 1, 3\right\right\}$ E. $\left\{\left-\dfrac12, 2, 1\right\right\}$ Pembahasan Misalkan $a = \dfrac{1}{x+1}$, $b = \dfrac{1}{y-3}$, dan $c = \dfrac{1}{z+2}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} 2a + 2b + 3c & = 2 && \cdots 1 \\ -4a + b + 6c & = 5 && \cdots 2 \\ 4a + 3b + 3c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+2b+3c & = 2 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~4a+4b+6c& = 4 \\ -4a+b+6c & = 5 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{8a + 3b = -1~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $c$ dari persamaan $3$ dan $1$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4a+3b+3c & = 2 \\ 2a+2b+3c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+b = 0~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 8a+3b & = -1 \\ 2a+b & = 0 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~8a+3b& = -1 \\ 6a+3b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 2a & = -1 \\ a & = -\dfrac12 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 2a+b & = 0 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + b & = 0 \\ -1 + b & = 0 \\ b & = 1 \end{aligned}$ Substitusi $a = -\dfrac12$ dan $b=1$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2a + 2b + 3c & = 2 \\ \Rightarrow 2\left-\dfrac12\right + 21 + 3c & = 2 \\ -1 + 2 + 3c & = 2 \\ 3c & = 1 \\ c & = \dfrac13 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a & = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{x+1} \Leftrightarrow -2 = x + 1 \Leftrightarrow x = -3 \\ b & = \dfrac{1}{y-3} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{y-3} \Leftrightarrow 1 = y-3 \Leftrightarrow y = 4 \\ c & = \dfrac{1}{z+2} \Rightarrow \dfrac13 = \dfrac{1}{z+2} \Leftrightarrow 3 = z+2 \Leftrightarrow z = 1 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-3, 4, 1\}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Diketahui $x y = 5 3$, sedangkan $y z = 4 5$. Jika $2x+y+z=94$, maka nilai $3y = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $20$ E. $45$ B. $15$ D. $36$ Pembahasan Karena $x y = 5 3 = 20 12$ dan $y z = 4 5 = 12 15$, maka $x y z = 20 12 15$. Diketahui $2x+y+z=94 \Leftrightarrow x+y+z=47.$ Dengan demikian $\begin{aligned} y & = \dfrac{12}{20+12+15} \times 47 \\ & = \dfrac{12}{\cancel{47}} \times \cancel{47} = 12 \end{aligned}$ Untuk itu, nilai dari $\boxed{3y = 312 = 36}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Jika $x y z = 2 1 3$ dan $x+y-2z=-6$, maka nilai $x-y+z=\cdots \cdot$ A. $8$ C. $6$ E. $4$ B. $7$ D. $5$ Pembahasan Dari perbandingan $x y z = 2 1 3$, diketahui bahwa $x = 2y$ dan $z = 3y$. Substitusikan pada persamaan $x+y-2z=-6$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2y+y-23y & = -6 \\ 2y+y-6y & = -6 \\ -3y & = -6 \\ y & = 2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $x = 2y = 22 = 4$ dan $z = 3y = 32 = 6$. Jadi, nilai dari $\boxed{x-y+z=4-2+6=8}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui sistem persamaan berikut. $\begin{cases} x^2+y^2+z^2 & = 6 && \cdots 1 \\ x^2-y^2+2z^2 & = 2 && \cdots 2 \\ 2x^2+y^2-z^2 & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Salah satu penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $x=-1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ B. $x=-1, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ C. $x=1, y = \sqrt2, z = \sqrt3$ D. $x=\sqrt2, y = \sqrt3, z = \sqrt2$ E. $x=\sqrt2, y = 1, z = \sqrt3$ Pembahasan Misalkan $a = x^2$, $b = y^2$, dan $c = z^2$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} a+b+c & = 6 && \cdots 1 \\ a-b+2c & = 2 && \cdots 2 \\ 2a+b-c & = 3 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b+c & = 6 \\ a-b+2c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{2a+3c = 8~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $2$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-b+2c & = 2 \\ 2a+b-c & = 3 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{3a+c = 5~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $c$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2a+3c & = 8 \\ 3a+c & = 5 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~2a+3c& = 8 \\ 9a+3c & = 15 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} -7a & = -7 \\ a & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $a=1$ pada persamaan $5 3a + c = 5$. $\begin{aligned} 31 + c & = 5 \\ c & = 2 \end{aligned}$ Substitusi $a = 1$ dan $c = 2$ pada persamaan $1 a+b+c = 6$ $\begin{aligned} 1+b+2 & = 6 \\ b & = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $\begin{aligned} a & = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ b & = y^2 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt3 \\ c & = z^2 \Rightarrow z^2 = 2 \Rightarrow z = \pm \sqrt2 \end{aligned}$ Jadi, salah satu himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{-1, \sqrt3, \sqrt2\}.$ Jawaban B [collapse] Baca Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer Soal Nomor 19 Diberikan sistem persamaan linear berikut. $\begin{cases} x+2y-3z & =4 \\ 3x-y+5z & =2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 \end{cases}$ Sistem di atas tidak memiliki solusi untuk $a = \cdots \cdot$ A. $-4$ atau $4$ D. $-1$ atau $1$ B. $-3$ atau $3$ E. $-4$ saja C. $-2$ atau $2$ Pembahasan Diketahui $$\begin{cases} x+2y-3z & =4 && \cdots 1 \\ 3x-y+5z & =2 && \cdots 2 \\ 4x+y+a^2-14z & = a+2 && \cdots 3 \end{cases}$$Matriks koefisien dari SPLTV tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix}.$ Sistem di atas tidak akan memiliki solusi jika dan hanya jika determinan matriks koefisiennya bernilai $0$. Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & a^2-14 \end{pmatrix} & = 0 \\ \text{Gunakan Aturan Sarrus} & \\ -a^2-14+40-9-12+5+6a^2-84 & = 0 \\ -7a^2 + 112 & = 0 \\ a^2 -16 & = 0 \\ a+4a-4 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $a = -4$ atau $a = 4.$ Namun, perlu diperiksa bahwa $a = 4$ membuat persamaan $3$ menjadi $4x + y + 2z = 6$ dan persamaan ini setara dengan menjumlahkan persamaan $1$ dan $2$ sehingga kita simpulkan bahwa $a = 4$ akan membuat sistem memiliki banyak solusi. Jadi, nilai $a$ yang membuat sistem tidak memiliki solusi hanya $\boxed{a = -4}$ Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV berikut. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 \\ 3x-y + z & = -1 \\ 2x+y-z & = 6 \end{cases}$$Dari beberapa pilihan nilai pasangan terurut $x, y, z$ berikut, manakah yang menjadi penyelesaian dari SPLTV di atas dan manakah yang bukan? Tuliskan alasannya masing-masing. a. $x, y, z = 1, -2, -2$ b. $x, y, z = -1, 2, -2$ c. $x, y, z = 1, 2, -2$ d. $x, y, z = -1, -2, 2$ Pembahasan Namai setiap persamaan pada SPLTV yang diberikan. $$\begin{cases} x-2y-2z & = 1 && \cdots 1 \\ 3x-y + z & = -1 && \cdots 2 \\ 2x+y-z & = 6 && \cdots 3 \end{cases}$$Pasangan terurut $x, y, z$ dikatakan sebagai penyelesaian dari SPLTV jika ketiga nilai variabel tersebut memenuhi ketiga persamaan pada SPLTV secara sekaligus ketika disubstitusikan. Jawaban a $x, y, z = 1, -2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-2-2-2-2 & = 1 \\ 9 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban b $x, y, z = -1, 2, -2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-22-2-2 & = 1 \\ -1-4 + 4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$Jawaban c $x, y, z = 1, 2, -2$ merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena memenuhi semua persamaan pada SPLTV tersebut secara sekaligus. Cara memeriksanya adalah dengan menyubstitusikan nilai $x, y, z$ masing-masing pada ketiga persamaan dan lihat apakah persamaan tersebut nantinya bernilai benar/salah. Persamaan $1$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow 1-22-2-2 & = 1 \\ 1-4+4 & = 1 \\ 1 & = 1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $2$ $$\begin{aligned} 3x-y + z & = -1 \\ \Rightarrow 31-2+-2 & = -1 \\ 3-2-2 & = -1 \\ -1 & = -1 && \text{benar} \end{aligned}$$Persamaan $3$ $$\begin{aligned} 2x+y-z & = 6 \\ \Rightarrow 21 + 2-2 & = 6 \\ 2+2+2 & = 6 \\ 6 & = 6 && \text{benar} \end{aligned}$$Jawaban d $x, y, z = -1, -2, 2$ bukan merupakan penyelesaian SPLTV tersebut karena tidak memenuhi setidaknya salah satu persamaan, yaitu persamaan $1.$ $$\begin{aligned} x-2y-2z & = 1 \\ \Rightarrow -1-2-2-22 & = 1 \\ -1 + 4-4 & = 1 \\ -1 & = 1 && \text{salah} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut. $\begin{cases} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 && \cdots 1 \\ 3x+2 & = y+2z && \cdots 2 \\ \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} && \cdots 3 \end{cases}$ Pembahasan Ubah setiap persamaan dalam sistem menjadi bentuk umum persamaan linear dan hindari bentuk pecahan guna mempermudah perhitungan. Pada persamaan $1$, $\begin{aligned} \dfrac{2x-y}{5} & = z+1 \\ 2x-y & = 5z + 5 \\ 2x-y-5z & = 5 \end{aligned}$ Pada persamaan $2$, $\begin{aligned} 3x+2 & = y+2z \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned}$ Pada persamaan $3$, $\begin{aligned} \dfrac{5x+2z}{3} & = -\dfrac{y+9}{4} \\ 45x+2z & = -3y+9 \\ 20x+8z & = -3y-27 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned}$ Sekarang, dapat kita tuliskan SPLTV berikut. $\begin{cases} 2x-y-5z & = 5 && \cdots 1 \\ 3x-y-2z & = -2 && \cdots 2 \\ 20x+3y+8z & = -27 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ 3x-y-2z & = -2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{-x-3z = 7~~~~\cdots 4} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $y$ pada persamaan $2$ dan $3$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y-2z & = -2 \\ 20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~9x-3y-6z& = -6 \\~20x+3y+8z & = -27 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{29x+2z = -33~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $4$ dan $5$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ 29x+2z & = -33 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -2x-6z & = 14 \\ 87x+6z & = -99 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} 85x & = -85 \\ x & = -1 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -1$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} -x-3z & = 7 \\ \Rightarrow -1-3z & = 7 \\ -3z & = 6 \\ z & = -2 \end{aligned}$ Substitusikan $x = -1$ dan $z = -2$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2x-y-5z & = 5 \\ \Rightarrow 2-1-y-5-2 & = 5 \\ -2-y+10 & = 5 \\ -y & = -3 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $\boxed{x,y,z = -1, 3, -2}$ [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui sistem persamaan tiga variabel berikut. $$\begin{cases} -\dfrac{4}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} + \dfrac{9}{z-1} & = -6 && \cdots 1 \\ \dfrac{8}{x+2}- \dfrac{6}{y+1} + \dfrac{3}{z-1} & = 4 && \cdots 2 \\ \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{2}{y+1}- \dfrac{6}{z-1} & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$$ a. Tentukan HP SPLTV tersebut. b. Tentukan nilai $5x-y-2z$. Pembahasan Jawaban a Misalkan $a = \dfrac{1}{x+2}$, $b = \dfrac{1}{y+1}$, dan $c = \dfrac{1}{z-1}$ sehingga setiap persamaan dari sistem di atas dapat diubah bentuknya menjadi persamaan linear tiga variabel. $\begin{cases} -4a+4b+9c & = -6 && \cdots 1 \\ 8a-6b+3c& = 4 && \cdots 2 \\ 4a+2b-6c & = 2 && \cdots 3 \end{cases}$ Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned} -8a+8b+18c & = -12 \\ 8a-6b+3c & = 4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ + \\ & \! \begin{aligned} \color{blue}{2b+21c = -8~~~\cdots 4}\end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $a$ dari persamaan $1$ dan $3$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+4b+9c & = -6 \\ 4a+2b-6c & = 2 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} \color{blue}{6b+3c = -4~~~~\cdots 5} \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $b$ dari persamaan $4$ dan $5$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2b+21c & = -8 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~6b+63c& = -24 \\ 6b+3c & = -4 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ – \\ & \! \begin{aligned} 60c & = -20 \\ c & = -\dfrac13 \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $c = -\dfrac13$ pada persamaan $5$. $\begin{aligned} 6b + 3c & = -4 \\ \Rightarrow 6b + 3\left-\dfrac13\right & = -4 \\ 6b-1& = -4 \\ 6b & = -3 \\ b & = -\dfrac12 \end{aligned}$ Substitusi $b = -\dfrac12$ dan $c = -\dfrac13$ pada persamaan $3$. $$\begin{aligned} 4a+2b-6c & = 2 \\ 2a + b-3c & = 1 && \text{Bagi}~2 \\ \Rightarrow 2a+\left-\dfrac12\right-3\left-\dfrac13\right & = 1 \\ 2a-\dfrac12+1 & = 1 \\ 2a & = \dfrac12 \\ a & = \dfrac14 \end{aligned}$$Dengan demikian, akan ditentukan nilai dari $x, y, z$ dengan mensubstitusikan nilai $a, b, c$ yang telah didapat. $$\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{x+2} \Rightarrow \dfrac14 = \dfrac{1}{x+2} \Leftrightarrow 4 = x + 2 \Leftrightarrow x = 2 \\ b &= \dfrac{1}{y+1} \Rightarrow -\dfrac12 = \dfrac{1}{y+1} \Leftrightarrow -2 = y+1 \Leftrightarrow y = -3 \\ c & = \dfrac{1}{z-1} \Rightarrow -\dfrac13 = \dfrac{1}{z-1} \Leftrightarrow -3 = z-1 \Leftrightarrow z = -2 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\{2, -3, -2\}$ Jawaban b Substitusi $x, y, z = 2, -3, -2$ pada ekspresi $5x-y-2z$ untuk memperoleh $$\boxed{52-3-2-2 = 10+3+4 = 17}$$ [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui segitiga $KLM$ dengan panjang sisi yang membentuk SPLTV berikut. $\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ KL+\dfrac{KM}{5} & = 25~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$ Tentukan a. panjang $KM$; b. panjang $KL$; c. keliling segitiga $KLM$. Pembahasan Pertama-tama, kalikan $5$ di kedua ruas pada persamaan $3$ untuk menghindari bentuk pecahan. $$\begin{cases} 2KL-LM & = 17~\text{cm} && \cdots 1 \\ LM+2KM & = 73~\text{cm} && \cdots 2 \\ 5KL+KM & = 125~\text{cm} && \cdots 3 \end{cases}$$Eliminasi $LM$ dari persamaan $1$ dan $2$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ LM+2KM & = 73 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ + \\ \! \begin{aligned} 2KL+2KM & = 90 \\ KL + KM & = 45~~~~\cdots 4 \end{aligned} \end{aligned}$ Eliminasi $KM$ dari persamaan $3$ dan $4$. $\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5KL+KM & = 125 \\ KL+KM & = 45 \end{aligned} \\ \rule{ cm}{ – \\ \! \begin{aligned} 4KL & = 80 \\ KL & = 20~\text{cm} \end{aligned} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $4$. $\begin{aligned} KL + KM & = 45 \\ 20 + KM & = 45 \\ KM & = 25~\text{cm} \end{aligned}$ Substitusi $KL = 20~\text{cm}$ pada persamaan $1$. $\begin{aligned} 2KL-LM & = 17 \\ 220-LM & = 17 \\ LM & = 23~\text{cm} \end{aligned}$ Jawaban a Panjang sisi $KM$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$ Jawaban b Panjang sisi $KL$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$ Jawaban c Keliling segitiga $KLM$ dapat ditentukan dengan menjumlahkan semua paniang sisinya, yaitu $\begin{aligned} k & = KL + KM + LM \\ & = 20+25+23 = 68~\text{cm}. \end{aligned}$ [collapse]

J3GU.

7fcnocluto.pages.dev/452

7fcnocluto.pages.dev/237

7fcnocluto.pages.dev/346

7fcnocluto.pages.dev/563

7fcnocluto.pages.dev/168

7fcnocluto.pages.dev/22

7fcnocluto.pages.dev/167

7fcnocluto.pages.dev/296

diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut